Пусть задано простое число p>2. Остатки от деления на p можно разместить на единичной окружности в комплексных числах — сказать, что остатку m соответствует точка
exp( 2πi m/p ) = ζ^m,
где ζ = exp( 2πi/p ).

Ещё можно вспомнить, что ненулевые остатки по модулю p делятся на равное количество квадратичных вычетов и невычетов — те, которые являются квадратами по модулю p, и которые не являются. Символ Лежандра как раз равен 1 для квадратичных вычетов, (-1) для невычетов, и 0 для нулевого остатка. Обычное его обозначение (посмотрите!) я в «строчный набор» не втисну, так что буду писать L(a|p).

На рисунке — точки на окружности, раскрашенные в зависимости от значения соответствующего символа Лежандра (красный = +1, синий = -1), p=3,5,7,11.

Математические байки

Gauss-0.pdf

7.3 KB

Пусть задано простое число p>2. Остатки от деления на p можно разместить на единичной окружности в комплексных числах — сказать, что остатку m соответствует точка
exp( 2πi m/p ) = ζ^m,
где ζ = exp( 2πi/p ).

Ещё можно вспомнить, что ненулевые остатки по модулю p делятся на равное количество квадратичных вычетов и невычетов — те, которые являются квадратами по модулю p, и которые не являются. Символ Лежандра как раз равен 1 для квадратичных вычетов, (-1) для невычетов, и 0 для нулевого остатка. Обычное его обозначение (посмотрите!) я в «строчный набор» не втисну, так что буду писать L(a|p).

На рисунке — точки на окружности, раскрашенные в зависимости от значения соответствующего символа Лежандра (красный = +1, синий = -1), p=3,5,7,11.

hottg.com/mathtabletalks/4670

1.55K viewsVictor Kleptsyn, Jan 17 at 14:05